Mischgas Theorie

Wird mehr als nur ein Inertgas (Stickstoff N₂ bei Luft/Nitrox) geatmet, also z.B. zwei im Falle von Trimix / Heliox (Stickstoff N₂ und Helium He) müssen die entsprechenden Ansätze (siehe Haldane-Gleichung, (6a)) erweitert werden.

Prinzipiell wird das Gesetz von Henry für jedes Inertgas_i separat gelten:

q_i = l_i * p_i * V_k
Q = ∑ q_i
(50)

Summiert wird hierbei über alle Inertgase_i als auch über alle Kompartimente_k

Variable	Definition
q_i	Menge des gelösten Inertgases i in einem Kompartiment mit Volumen V_k
l_i	Löslichkeitskoeffizient des Inertgases_i bezüglich des Volumens V_k
p_i	Partialdruck des Inertgases_i
V_k	Volumen einer Kompartimentes k

Für die Summe aller Partialdrücke wird das Gesetz von Dalton gelten:

P = ∑ p_i = p₁ + p₂ + p₃ + ... (51)

Demgemäß wird für stationäre Zustände in den Kompartimenten folgendes gelten:

P_t(0) = ∑p_{t, i}(0) = p_{t, N2}(0) + p_{t, He}(0) (52a)

sowie für die Alveolen:

P_alv(0) = ∑p_{alv, i}(0) = p_{alv, N2}(0) + p_{alv, He}(0) (52b)

sowie für alle Zeiten t:

P_tiss(t) = P_t(t) = ∑ p_{tiss, i}(t) = p_{tiss, N2}(t) + p_{tiss, He}(t) (52c)

Deshalb erweitern wir die Haldane-Gleichung (6a):

P_t(t) = P_alv0,N2 + [P_t0,N2 - P_alv0,N2] e^-k_N2t + P_alv0,He + [P_t0,He - P_alv0,He] e^-k_Het (53)

Wir prüfen nun, ob auch diese Erweiterung die grundlegende Differentialgleichung (1a) erfüllt. Die DGL (1a) wird um den Zusatzterm für ein zweites Inertgas erweitert:

dP_t(t)/dt = k₁ * [P_alv,N2(t) - P_t,N2(t)] + k₂ * [P_alv,He(t) - P_t,He(t)] (54)

Wir bestimmen die Proportionalitätsfaktoren k₁ und k₂, indem wir aus (53) d P_t(t) / dt berechnen:

dP_t(t)/dt = - k_N2 * [P_t0,N2 - P_alv0,N2] e^-k_N2t - k_He * [P_t0,He - P_alv0,He] e^-k_Het (53a)

... und jetzt damit die linke Seite von (54) ersetzen:

- k_N2 * [P_t0,N2 - P_alv0,N2] e^-k_N2t - k_He * [P_t0,He - P_alv0,He] e^-k_Het =
k₁ * [P_alv,N2(t) - P_t,N2(t)] + k₂ * [P_alv,He(t) - P_t,He(t)] =
k₁ * P_alv,N2(t) - k₁ * P_t,N2(t) + k₂ * P_alv,He(t) - k₂ * P_t,He(t)
(55)

Für die p_{t, i}(t) bemühen wir nochmals den Ansatz (52c) bzw. (53), setzen diesen in (55), rechte Seite, ordnen um und erhalten:

- k_N2 * [P_t0,N2 - P_alv0,N2] e^-k_N2t - k_He * [P_t0,He - P_alv0,He] e^-k_Het =
k₁ * P_alv,N2(t) + k₂ * P_alv,He(t) - k₁ * [P_alv0,N2 + [P_t0,N2 - P_alv0,N2] e^-k_N2t - k₂ * [P_alv0,He + [P_t0,He - P_alv0,He] e^-k_Het

(55a)

Ausmultiplizieren der eckigen Klammern [ ... ] der rechten Seite und Umordnung nach konstanten bzw. zeitabhängigen Termen ergibt:

- k_N2 * [P_t0,N2 - P_alv0,N2] e^-k_N2t - k_He * [P_t0,He - P_alv0,He] e^-k_Het =
k₁ * P_alv,N2(t) + k₂ * P_alv,He(t) - k₁ * P_alv0,N2 - k₁ * (P_t0,N2 - P_alv0,N2)e^-k_N2t - k₂ * P_alv0,He - k₂ * (P_t0,He - P_alv0,He)e^-k_Het =
k₁ * [P_alv,N2(t) - P_alv0,N2] + k₂ * [P_alv,He(t) - P_alv0,He] - k₁ * (P_t0,N2 - P_alv0,N2)e^-k_N2t - k₂ * (P_t0,He - P_alv0,He)e^-k_Het
(55b)

Bemühen wir nun die identischen Randbedingungen für beide Inertgase die zur Lösung (6a) geführt haben:

P_alv,N2(t) = P_alv0,N2 für alle Zeiten t und analog
P_alv,He(t) = P_alv0,He
wird die Gleichung (55a) identisch erfüllt für:
k₁ = k_N2 sowie: k₂ = k_He (55c)

Der Ansatz (53) erfüllt also die zentrale DGL (1a), wenn das zweite Inertgas als additiver Zusatz berechnet wird:
sowohl für den stationären Teil, also den zeitlich konstanten Anteil am alveolären Gas (52b) als auch den zeitabhängigen (52c).

Berechnung von Dekompressionszeiten mit Mischgasen

Schauen wir zunächst die einfachen Verhältnisse bei nur einem Inertgas (Luft/Nitrox) auf einer konkreten Deko-Stufe (6m) an,
bevor auf die nächsthöhere Dekostufe (3m) aufgetaucht werden kann:

NB: die Zahlen sind nur eine grobe Näherung: die Identifikation der Variabeln dient zur Übersicht über die Gleichung (21):

t = - τ / ln2 * ln[ (P_t(t) - P_alv0) / (P_t0 - P_alv0) ]

Die wirkliche Deko-Zeit t_d ist dabei der Maximalwert aus allen berechneten Deko-Zeiten die über die komplette Schar aller Kompartimente ermittelt wird.

Für die Terme im Einzelnen gilt:

P_t(t): Gewebsdruck am Ende zur Deko-Zeit t_d, dieser wird ermittelt über den
p_{ambient, tolerated} der Ziel-Dekostufe.
Mit p_{amb, tol} wird der tolerierte Gewebsdruck p_{tissue, tolerated} berechnet über die Formel (17):

P_t.tol.ig = P_amb / b + a

Die a- & b-Werte sind aus der Tabelle bekannt und somit kann für jedes Kompartiment der jeweilige P_t(t) bestimmt werden.
P_alv0: ist der alveolare Druck des jeweiligen Inertgases, bei Beginn der Deko, im Wesentlichen aus dem aktuellen Umgebungsdruck bestimmt,
der mit dem Anteil f des Inertgases_i verziert wird (R_q etc. vergessen wir im Moment ...):
P_alv0 = P_alv0(t₀) = P_ambient * f_i
P_t0: der Gewebsdruck bei Beginn der Deko, bei t = t₀
also die Summation über das komplette Tauchprofil bis einschliesslich t₀.

Die Erweiterungen für Mischgase mit (22) umfassen neben den a- und b-Koeffizienten auch die τ resp. λ Werte (Gleichungssatz 56)!

a^* = a (He + N₂) = [( P_{t, He} * a_He ) + ( P_{t, N2} * a_N2)] / ( P_{t, He} + P_{t, N2} )

b^* = b (He + N₂) = [( P_{t, He} * b_He ) + ( P_{t, N2} * b_N2)] / ( P_{t, He} + P_{t, N2} )

λ^* = λ (He + N₂) = [( P_{t, He} * λ_He ) + ( P_{t, N2} * λ_N2)] / ( P_{t, He} + P_{t, N2} ) (56)

Und zwar jeweils für alle k Kompartimente, z.B.: k = 1 - 16!

Weiterhin gelten für unsere zwei Inertgase He und N₂ (52a, 52b, 52c) und somit:

P_alv0 = p_{alv0, N₂}(t₀) + p_{alv0, He}(t₀)
P_t0 = p_N₂,t0 + p_He,t0
Für den tolerierten Gewebsdruck p_{tissue, tolerated} gilt nun analog:

P_t.tol.ig = P_amb / b^* + a^*

Wird nun zur Berechnung der Dekozeiten t_d die Formel (21) mit allen obengenannten Erweiterungen für Mischgase benutzt,
entsteht damit eine Gleichung mit zwei weiteren Unbekannten,

nämlich p_{tiss, N2}(t) und p_{tiss, He}(t) zum Zeitpunkt t = t_d
da ja: P_t(t) = p_{tiss, N2}(t) + p_{tiss, He}(t), und dies jeweils für alle Kompartimente_k!
a^*, b^* sowie λ^* werden ja zum Zeitpunkt t = t₀ ermittelt, gelten also nur für den Startzeitpunkt der Deko!
Da ja t_d noch unbekannt ist, sind es auch die jeweiligen Kompartimentssättigungen p_tiss(t_d) und somit auch a^*, b^*, λ^* zum Zeitpunkt t = t_d.

1) die numerische Methode:
Somit muss (21) ab 2 Inertgasen entweder approximativ gelöst werden, indem für kleine Zeitschritte Δt, z.B. Δt = 1 Sek, jeweils der neue
P_t(t + Δt) = p_{tiss, N2}(t + Δt) + p_{tiss, He}(t + Δt) aus dem vorigen P_t(t) berechnet wird und mit dem
tolerierten Umgebungsdruck P_{ambient, tolerated} der Ziel-Tiefe / Zieldeko-Stufe der gesuchte P_{tissue, tolerated} berechnet
und verglichen wird: ist nach n Zeitschritten
P_t(t = t_d) = P_t(t₀ + n * Δt) < = P_{tiss, tol}, dann haben wir mit t = t_d die benötigte Deko-Zeit gefunden.
Weitere Möglichkeiten:
2) die "quasi"-analytische Methode:
es wird ein Fehler in Kauf genommen, indem einfach mit dem beim Start der Deko-Phase zur Zeit t₀ bekannten
P_t(t0) = p_{tiss, N2}(t0) + p_{tiss, He}(t0)
die entsprechenden Gewichtungen der a-, b-Koeffizienten und λ (Gleichungen 56) vorgenommen wird und diese
auch bei der Berechnung von P_t(t) einfach mitbenutzt werden.
Dieser Fehler führt i.d.R. zunächst zu einer Überschätzung der Deko-Zeiten!
(in Abhängigkeit von Tiefe, Zeit und He-Anteil)
(Wird aber anscheinend gerne in Desktop Deco-Softwaren bzw. Mischgas-Computern so gemacht: die numerische Berechnung nach Methode 1 erfordert Aufwand bei Programmierung und ebenso bei der Anzahl der zusätzlich erforderlichen Variabeln (Speicherplatz). Weiterhin kostet es Rechenzeit: jedes Kompartiment muss für jede Deko-Stufe u.U. mehrere längere Schleifen durchlaufen, jenachdem, wie eng bzw. präzise das Zeitinterval gewählt wird.)

3)
Lösung der erweiterten Gleichung (21) über eine Taylor-Entwicklung:
wir nehmen die Gleichung (53) und formen diese analog dem Vorgehen bei (21) um:

P_t(t) = P_alv0,N2 + P_alv0,He + [P_t0,N2 - P_alv0,N2] e^-k_N2t + [P_t0,He - P_alv0,He] e^-k_Het
= P_amb / b^* + a^*

Wir benutzen die Taylor-Entwicklung für den Exponentialterm in den P_t(t)
mit x = - k_i * t, und für e^x :

e^x ≅ 1 + x + (x² / 2) + (x³ / 6) + ... + ...

Die Taylor-Entwicklung wird nach dem 3. oder auch schon nach dem 2. Term abgebrochen: dies ist genügend genau für kleine x, d.h. kurze Deko-Stopps!

Da die P_t(t) über die b^* und a^* und somit auch t nun sowohl im Zähler als auch im Nenner auftauchen, erhalten wir ein kubisches oder ein bi-quadratisches Polynom für t in voller Schönheit: auch dieses könnten wir nun numerisch lösen. Doch damit hätten wir gegenüber der Methode 1 nichts gewonnen!

4)
Wir wollen nun anhand von einigen (*) Beispielen den Fehler der bei der üblichen Methode Numero 2 entsteht, berechnen, in dem wir die Differenzen zu den "echten" Dekozeiten auf jeder Stufe der Methode 1 bilden; dies machen wir für verschiedene Tauchprofile und verschiedene Gemische: zur Kontrolle dienen hierbei:
zwei (2) verschiedene kommerziell erwerbbare Desktop-Deco Softwaren und als Vergleichsbasis DIVE V3 mit Methode 1 und Methode 2.
(*) einige bedeutet in diesem Zusammenhang ca. 1.900 Tauchprofile aus dem TEC-recreational Bereich.
Um es genau zu sagen: 6 Tiefenprofile von 30 - 80 m, 5 Grundzeiten von 20 - 60 min., und Helium- Anteile von 5 - 80 % (16 Gemische), alles in allem 480 Profile, und das Ganze dann 4 mal ...
Der Fehler nimmt mit der Dekompressionsverpflichtung zu, also mit Tiefe und Zeit und verhält sich in Abhängigkeit des Helium-Anteiles in etwa (rein qualitativ) so:

Wir sehen die Deko-Zeiten t_D in Abhängigkeit des Helium-Anteils f_He:
die Abweichungen sind die Differenzen Formel (17) (= Methode 2) aus dem Mittelwert aus allen 3 Softwaren gegenüber der numerischen Berechnung (Methode 1).
D.h. wie oben angedeutet, werden die Deko-Zeiten zunächst überschätzt,
im Bereich der bei TEC-REC üblichen Trimixe, speziell so um die 35 - 45 % verschwindet dieser Fehler,
um bei steigendem Helium-Anteil dann wieder schnell und kräftig zuzunehmen.

	a^* = a (He + N₂) = [( P_{t, He} * a_He ) + ( P_{t, N2} * a_N2)] / ( P_{t, He} + P_{t, N2} )
	b^* = b (He + N₂) = [( P_{t, He} * b_He ) + ( P_{t, N2} * b_N2)] / ( P_{t, He} + P_{t, N2} )
	λ^* = λ (He + N₂) = [( P_{t, He} * λ_He ) + ( P_{t, N2} * λ_N2)] / ( P_{t, He} + P_{t, N2} )	(56)